Cassiodorus, Institutiones, 2, CAPUT IV. DE ARITHMETICA.
| 1 | Scriptores saecularium litterarum inter disciplinas mathematicas primam omnium arithmeticam esse voluerunt, propterea quod musica, et geometria, et astronomia, quae sequuntur, indigent arithmetica ut virtutes suas valeant explicare. Verbi gratia, simplum ad duplum, quod habet musica, indiget arithmetica; geometria vero, quod habet trigonum, quadrangulum, vel his similia, item indiget arithmetica. Astronomia etiam, quod habet in motu siderum numeros punctorum, indiget arithmetica. |
| 2 | Arithmetica vero, ut sit, neque musica, neque geometria, neque astronomia egere cognoscitur. Propterea his fons et mater arithmetica reperitur; quam disciplinam Pythagoras sic laudasse probatur [ed., monstratur], ut omnia sub numero et mensura a Deo creata fuisse memoret, dicens: Alia in motu, alia in statu esse formata: ut tamen nulla eorum, praeter ista quae dicta sunt, substantiam percepissent. |
| 3 | Credo trahens hoc initium, ut multi philosophorum fecerunt, ab illa sententia prophetali quae dicit: Omnia Deum mensura, numero et pondere disposuisse [Sap. XI, 21]. |
| 4 | Haec itaque consistit ex quantitate discreta, quae parit genera numerorum, nullo sibi communi termino sociata. V enim ad X, VI ad IV, VII ad III, per nullum communem terminum alterutra sibi societate nectuntur. Arithmetica vero dicitur, eo quod numeris praeest. Numerus vero est ex monadibus multitudo composita, ut III, V, X, XX et caetera. |
| 5 | Intentio arithmeticae est docere nos naturam abstracti numeri et quae ei accidunt, ut, verbi gratia, parilitas, imparilitas et caetera. Prima divisio numeri. |
| 6 | Par numerus est qui in duas partes aequales dividi potest, ut II, IV, VI, VIII, X et reliqui. |
| 7 | Impar numerus est qui in duas partes aequales dividi nullatenus potest, ut III, V, VII, IX, XI et reliqui. |
| 8 | Pariter par numerus est cuius divisio in duabus aequalibus partibus fieri potest usque ad monada, ut, verbi gratia, LXIV dividitur in XXXII, XXXII in XVI, et XVI in VIII, VIII in IV, IV in duo, II vero in I. |
| 9 | Pariter impar numerus est qui similiter solummodo in duas partes dividi potest aequales, ut X in V, XIV in VII, XVIII in IX, et his similia. |
| 10 | Impariter par numerus est qui plures divisiones secundum aequalitatem partium dividere potest, non tamen usque ad assem perveniat, ut, verbi gratia, XXIV in bis XII, XII in bis VI, sex in bis tres, et amplius non procedit. |
| 11 | Primus et simplex numerus est qui monadicam mensuram solam recipere potest, ut, verbi gratia, III, V, VII, XI, XIII, XVII, et his similia. |
| 12 | Secundus et compositus numerus est qui non solum monadicam mensuram, sed et arithmeticam recipere potest, ut, verbi gratia, IX, XV, XXI, et his similia. |
| 13 | Mediocris numerus est qui quodam modo simplex et incompositus esse videtur, alio vero modo secundus et compositus, ut, verbi gratia, IX ad XXV dum comparatus fuerit, primus est et incompositus, quia non habet communem numerum, nisi solum monadicum; ad XV vero si comparatus fuerit, secundus est et compositus, quoniam inest illi communis numerus praeter monadicum, id est ternarius numerus, qui novem mensurat ter terni, et XV ter quini. |
| 14 | Altera divisio, de paribus et imparibus numeris. |
| 15 | Superfluus numerus est qui descendit de paribus; is dum par sit, superfluas partes quantitatis suae habere videtur, ut XII habet medietatem VI, sexta pars duo; quarta pars, tria; tertia pars IV, et duodecima pars unum: qui omnes assumpti fiunt XVI. |
| 16 | Indigens numerus est qui et ipse de paribus descendit, quantitatis suae summam partium inferiorem habet, ut VIII, cuius medietas IV, quarta pars II, octava pars I: quae simul congregatae partes fiunt VII. |
| 17 | Perfectus numerus est qui tamen et ipse de paribus descendit: is dum par sit, omnes partes suas simul assumptas aequales habet, ut VI, cuius medietas tria; tertia pars II, sexta pars unum. Quae assumptae partes faciunt ipsum senarium numerum. Tertia divisio numeri. |
| 18 | Per se numerus est qui sine relatione aliqua dicitur, ut III, IV, V, VI, et reliqui similes. |
| 19 | Ad aliquid numerus est, qui relative ad alios comparatur, ut, verbi gratia, IV ad II, dum comparatus fuerit, duplex dicitur; et VI ad III, et VIII ad IV, et X ad V, et iterum III ad I triplex, IX ad III, et caetera. |
| 20 | Aequales numeri dicuntur, qui secundum quantitatem aequales sunt, ut, verbi gratia, duo ad duo, tres ad tres, decem ad decem, centum ad centum, etc. |
| 21 | Inaequales numeri sunt qui ad invicem comparati inaequalitatem demonstrant, ut tres ad duo, IV ad III, V ad IV, X ad VI, et universaliter maior minori, aut minor maiori. Huiusmodi dum comparatus fuerit inaequalis dicitur. |
| 22 | Minor numerus est qui vel replicatione minuitur, aut ratione membrorum aut partium. |
| 23 | Maior numerus est qui habet in se illum numerum minorem ad quem comparatur, et aliquid plus, ut, verbi gratia, quinarius numerus trinario numero fortior est, eo quod habeat quinarium numerum in se, et ternarium numerum, et alias partes eius duas, et reliqui tales. |
| 24 | Multiplex numerus est qui habet in se minorem numerum bis, aut ter, aut quater, aut multipliciter, ut, verbi gratia, duo ad unum, dum comparati fuerint, duplex est; III ad I, triplex; IV, quadruplex, reliqui contra. |
| 25 | Submultiplex numerus est qui intra multiplicem continetur bis, aut ter, aut quater, aut multipliciter, verbi gratia, unum a duobus bis continetur, a tribus ter, a quatuor quater, et ab aliis multipliciter. |
| 26 | Superparticularis numerus est, dum fortior continet infra se inferiorem numerum, circa quem comparatur similiter et una pars eius, ut, verbi gratia, III ad II dum comparati fuerint, continent in se duo et alium I, qui media pars est duorum; IV ad III dum comparati fuerint, continent in se III et alium I, qui est tertia pars trium, et caeteri tales. |
| 27 | Subsuperparticularis numerus est minor qui continetur in fortiori numero cum aliqua parte sua una aut media, aut tertia, aut quarta, aut quinta, ut, verbi gratia, II ad III, IV ad V, et caeteri. |
| 28 | Superpartiens numerus est qui in se inferiorem numerum totum continet, et super hoc alteras partes eius II, aut III, aut IV, aut V, aut alias, ut, verbi gratia, V ad III, dum comparati fuerint, habet in se quinarius numerus trinarium numerum, et insuper alias duas partes eius. VII ad IV, dum comparati fuerint, habent in se IV et alias tres partes eius. |
| 29 | Subsuperpartiens numerus est qui continetur in numero superpartienti cum aliquibus partibus suis duabus, aut tribus, aut pluribus, ut, verbi gratia, III continentur a V cum aliis duabus partibus suis; IV a VII cum tribus partibus suis; V a IX cum quatuor partibus suis. |
| 30 | Multiplex superparticularis numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet in se totum inferiorem numerum multipliciter cum aliqua parte eius, ut, verbi gratia, quinque ad duos dum comparati fuerint, continent bis binos et unam partem eius. Novem ad quatuor similiter, et caeteri tales. |
| 31 | Submultiplex superparticularis numerus est qui, dum ad fortiorem sibi numerum comparatus fuerit, continetur a fortiore sibi multipliciter cum alia una parte sua, ut, verbi gratia, II ad V dum comparati fuerint, continentur ab eo bis cum una parte sua. |
| 32 | Multiplex superpartiens numerus est qui, dum comparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet eum multipliciter cum aliis partibus eius, ut, verbi gratia, VIII ad III comparati, continent in se bis ternos cum duabus partibus eius. XVI ad VI comparati continent in se bis senos et quatuor partes eius. |
| 33 | Submultiplex superpartiens numerus est qui, dum ad fortiorem sibi comparatus fuerit, continetur ab eo multipliciter cum aliquibus partibus suis, ut, verbi gratia, III ad VIII continentur bis cum duabus partibus suis; IV ad XV continentur tertio cum tribus partibus suis. Sequitur quarta divisio totius numeri. |
| 34 | Discretus numerus est qui a discretis monadibus continetur, ut, verbi gratia, III a IV, V a VI, et reliqui. |
| 35 | Continens numerus est qui a coniunctis monadibus continetur, ut, verbi gratia, ternarius numerus, si in magnitudine intelligatur, id est in linea, aut spatium, aut solidum, dicitur continens. Similiter quaternarius et quinarius numeri. |
| 36 | Linealis numerus est qui inchoans a monade linealiter scribitur usque ad infinitum. Unde alpha ponitur pro designatione linearum, quoniam haec littera unum significat apud Graecos. |
| 37 | Superficialis numerus est qui non solum longitudine, sed et latitudine continetur: ut trigonus numerus, quadratus numerus, quinqueangulus numerus, circularis numerus, et caeteri qui semper in superficie continentur. |
| 38 | Circularis numerus est qui dum similiter multiplicatus fuerit, a se inchoans ad se convertitur, ut, verbi gratia, quinquies quini, vicies quinque. |
| 39 | Solidus numerus est qui longitudine, et latitudine, vel altitudine continetur, ut sunt pyramides, quae in modum flammae consurgunt: cubi, ut sunt tesserae; sphaerae, quibus est aequalis undique rotunditas. |
| 40 | Sphaericus autem numerus est qui a circulato numero multiplicatus, a se inchoans ad se convertitur, ut, verbi gratia, quinquies quini, viginti quinque. Hinc circulus, dum in se ipsum multiplicatus fuerit, facit sphaeram, id est quinquies XXV, CXXV. |
| 41 | His igitur rebus sollicita mente tractatis, memento quod haec disciplina ideo caeteris antefertur, quoniam ipsa, sicut superius dictum est, ut sit, nullius alterius indiget disciplinae. Reliquae vero quae sequuntur, sicut eius iam qualitas virtutis ostendit, ut sint atque subsistant, indigent arithmetica disciplina, quam apud Graecos Nicomachus diligenter exposuit. |
| 42 | Hunc primum Madaurensis Apuleius, deinde magnificus vir Boetius Latino sermone translatum Romanis contulit lectitandum. Quibus, ut aiunt, si quis saepius utitur, quantum hominibus fas est, lucidissima procul dubio ratione perfunditur. |
| 43 | Datum est etiam nobis ex magna parte sub ipsa vivere disciplina, quando horas discimus, quando mensium curricula supputamus, quando spatium anni redeuntis agnoscimus. Per numerum siquidem, ne confundamur, instruimur. Tolle saeculo computum, et omnia ignorantia caeca complectitur. Nec differre potest a caeteris animalibus, qui calculi non intelligit quantitatem; et ideo tam gloriosa res est, quantum vitae nostrae necessaria comprobatur: quoniam per ipsam et substantia nostra certissime discitur, et expensarum modus librata supputatione erogatur. Numerus est qui cuncta disponit. |
| 44 | Per ipsum discimus quid primo, quid secundo facere debeamus. Nunc veniamus ad musicam, quae ipso nomine et propria virtute suavis est. |