Boethius, De Musica, 4, CAPUT II. Diversae de intervallis speculationes.
| 1 | Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione intervallum, multiplex est. Sit multiplex intervallum B C, et B multiplex eius quod est C, et fiat ut est C ad B, ita B ad D. Quoniam igitur B multiplex est, eius quod est C metitur C terminus, id quod est B, vel bis, vel tertio, vel deinceps, et est ut C ad B, ita B ad D. Metitur igitur B terminus id quod est D. Quocirca quia C terminus id quod est B metitur, metietur etiam D. Multiplex est igitur D eius quod est C, et est C D intervallum, effectum ex composito bis copulatoque sibimet et per binarium multiplicato B C intervallo. In numeris quoque idem probatur. |
| 2 | Sit enim B ad C duplum, ut binarius ad unitatem, et fiat ut C ad B, ita B ad D. Erit igitur D quaternarius. Multiplex est autem B ad C, id est binarius ad unitatem. Multiplex est D ad B, id est quaternarius ad binarium. Multiplex est igitur D quaternarius ad C unitatem. Est autem quadruplus quaternarius unitatis, et binario multiplicata medietas quod est intervallum B C. Si intervallum binario multiplicatum, multiplex effecerit, intervallum ipsum quoque multiplex erit. |
| 3 | Sit intervallum B C, et fiat ut C ad B, ita B ad D, et D sit ad C multiplex. Dico quia B eius quod est C multiplex est. Quoniam enim D eius quod est C multiplex est, metietur C id quod est D, metietur et B. Ostensum est vero quoniam si sint termini proportionaliter constituti, cum primus fuerit ultimo comparatus, si primus ultimum fuerit mensus, metietur et medium. C igitur metietur id quod est B. Multiplex est igitur B eius quod est C. Id rursus ex numeris, sit C unitas, D vero ex duplicata proportione, B C sit quaternarius, et est multiplex eius quod est C. Est enim quadruplus. |
| 4 | Quoniam igitur quadruplus ex duplicata B C proportione generatur, B C proportio dimidium eius erit, igitur B C proportio dupla est. Sed duplum multiplex est: erit igitur B C proportio multiplex. Superparticularis intervalli medius numerus, neque unus, neque plures proportionaliter intervenient. Sit enim B C proportio superparticularis, et in eadem proportione minimi sint D F et G. Quoniam D F et G minimi sunt in eadem proportione, sunt eiusdem proportionis primi. Quo circa eos unitas metietur. Auferatur igitur G ab D F et relinquatur D, hic est igitur utrorumque mensura communis: haec igitur erit unitas. |
| 5 | Quocirca nullus inter F D atque G incidet numerus, qui sit ab F D quidem minor, maior vero ab G. Sola enim interest unitas, quanti vero in superparticularibus proportionibus proportionaliter inter eiusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter caeteros eiusdem proportionis incident. Sed nullus inter F D atque G minimos eiusdem proportionis intervenire potest. |
| 6 | Nullus igitur inter B atque C proportionaliter cadet, et in numeris sit quaelibet superparticularis proportio, ut sesquialtera; hi vero sunt 10 et 15, in eadem vero proportione minimi 2 et 3, aufero de 3 binarium; fit reliqua unitas, eadem utrosque metitur. |
| 7 | Nullus erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui sit binario maior, minor vero ternario. Alioquin unitas dividetur, quod est inconveniens. Quare ne inter 10 quidem atque 15 quisquam invenietur numerus qui talem ad 10 obtineat proportionem qualem ad eum tenent 15. Si intervallum non multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione nec multiplex est nec superparticulare. |
| 8 | Sit enim intervallum non multiplex B C, et fiat ut C ad B, sic B ad D. Dico quoniam D eius quod est C, neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primum D eius quod est C multiplex, et quoniam cognitum est. Si intervallum binario multiplicatum sit, et multiplex intervallum creatum, id quod multiplicatum est bis intervallum esse multiplex. |
| 9 | Erit igitur B C multiplex, sed non est positum. Non igitur erit D eius quod est C multiplex, nec vero superparticulare. Nam superparticularis proportionis medius proportionaliter terminus nullus intervenit. Inter D vero et C est proportionaliter terminus constitutus, id est B. Nam ut est C ad B, ita B ad D; impossibile igitur erit D eius quod est C, vel multiplicem esse, vel superparticularem, quod oportebat ostendere. |
| 10 | Et in numeris sit non multiplex intervallum 6 ad 6, fiatque ut sunt 4 ad 6, ita sex ad alium quemlibet numerum. Hic erit igitur novenarius, qui quaternarii neque multiplex neque superparticularis est. Si intervallum binario multiplicetur, atque id quod ex ea multiplicatione creabitur multiplex non fit, ipsum quoque non erit multiplex. |
| 11 | Sit enim intervallum B C, fiatque ut C ad B, ita B ad D, et non fit D eius quod est C multiplex. Dico quoniam nec B eius quod est C erit multiplex. Si enim est et D eius quod est C, est multiplex. At non est, non erit igitur B eius quod est C multiplex. Duplex intervallum ex duobus maximis superparticularibus, coniungitur sesquialtero et sesquitertio. Sit enim A quidem eius quod est B sesquialter, B vero eius quod est C sesquitertius. |
| 12 | Dico quoniam A eius quod est C duplex est. Quoniam igitur sesquialter est A eius quod est B, igitur A habet in se totum B eiusque dimidium. Duo igitur A aequi sunt tribus B. Rursus quoniam B eius quod est C sesquitertius est, B igitur habet C, et eius tertiam partem. Tres igitur B aequi sunt ad quatuor C. Tres autem B aequi erant duobus A. Duo igitur A aequi sunt ad quatuor C; unus igitur A aequus est duobus CC. Duplex erit igitur A eius qui est C, et in numeris. |
| 13 | Sit enim sesquialter 12 ad 8, sesquitertius vero 8 ad 6: ergo 12 ad 6 duplices sunt. Ex duplici intervallo atque sesquialtero triplex nascitur intervallum. Sit enim A eius quod est B duplex, B autem eius quod est C sesquialter. Dico quoniam A eius quod est C triplex est. Nam quoniam A eius quod est B duplex est, A igitur aequus est duobus B. Rursus quoniam B eius quod est C sesquialter est, B igitur habet in se totum C et eius dimidiam partem. Duo igitur B aequi sunt tribus C. Sed duo B aequi erant uni A, et unus igitur A aequus est tribus C; igitur A uno C triplex est. |
| 14 | Et in numeris sit duplex quidem senarius ternario, sesquialter vero ternarius, binario. Senarius igitur triplex est binario. Si sesquialtero intervallo sesquitertium demptum fuerit intervallum, erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim A quidem eius quod est B sesquialter, at vero C eius quod est B sesquitertius: dico quoniam A eius quod est C sesquioctavus est. |
| 15 | Quoniam enim A eius quod est B sesquialter est, A igitur habet in se B et eius dimidiam partem. Octo igitur A aequi sunt ad duodecim B. Rursus quoniam C eius quod est B sesquitertius est, C igitur habet in se B et tertiam eius partem. Novem igitur C aequi sunt ad duodecim B. Duodecim B aequi erant ad octo A; et octo igitur A aequi sunt ad novem C. Igitur A aequus est ei quod est C, et octavae eius parti. |
| 16 | A igitur eius quod est C sesquioctavus est. Et in numeris sesquialterum quidem intervallum sit novenarius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesquioctava proportio est. Sex proportiones sesquioctavae maiores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidem numerus A, huius autem sit sesquioctavus B, huius sesquioctavus C, et huius sesquioctavus D, et huius sesquioctavus F, eiusque sesquioctavus G, atque huius sesquioctavus K. Id autem fiat secundum descriptum in Arithmetica modum, et sint numeri A B C D F G K, et sit A 262144, huius autem sesquioctavus qui est B 294912, huius autem sesquioctavus qui est C 331776, huius autem sesquioctavus qui est D 373248, huius autem sesquioctavus qui est F 419904, huius autem sesquioctavus qui est G 472392, huius autem sesquioctavus qui est K 531441. Et sunt 531441 quod est K, plus quam duplices ad ducenta 60 duo millia 144 quod est A. Sex igitur sesquioctavae proportiones ampliores sunt uno duplici intervallo. |