| 1 | Primum igitur dico quoniam hi numeri qui comma continent maiorem inter se retinent proportionem quam 75 ad 74, minorem quam 74 ad 73. Id vero ita demonstrabitur: ac primo quidem illud reminiscendum est, quod sex toni diapason commate transcendunt. Sit igitur A quidem 262144, B autem diapason ad eum contineat consonantiam in duplici scilicet constituta 524288, C vero sex tonis ab A numero discedat et sit 531441. Quae omnia ex secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. |
| 2 | Inter B igitur atque C commatis proportio continetur. Aufero igitur B numerum de numero C, et relinquit D in 7153 unitatibus collocatus. Quid numerus minor D est quam sit septuagesima tertia pars B numeri, maior vero est quam septuagesima quarta sit. Nam si eumdem D numerum, qui est in 7153, septuagies ter multiplicem, fiet mihi E numerus in 522169 unitatibus constitutus. Si eum septuagies quater multiplicem, fit numerus F 529322. Quorum quidem E, qui per septuaginta tres auctus est, minor est B numero; F autem qui per 74, maior est B numero. |
| 3 | Recte igitur dictum est D, eius quod est B, minorem quidem esse quam septuagesimam tertiam partem, maiorem vero quam septuagesimam quartam. Quocirca et C numerus B numerum minore quidem parte eius quod est B eumdem B superat, quam septuagesima tertia, maiore vero quam septuagesima quarta. |
| 4 | Eius igitur quod est C proportio ad id quod est B maior quidem est quam 75 ad 74, minor vero quam 74 ad 73. Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris, in posteriore vero eadem unitas septuagesima tertia. Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos qui post additionem fiunt proportio continebitur quam inter priores qui ante additionem illam quadam proportione distabant. |
| 5 | Ut sex et quatuor si utrisque binarius, quae est differentia sua apponatur, fient 8 et 6, sed inter 6 et 4 sesquialtera, inter 8 et 6 sesquitertia proportio continetur, minor vero est proportio sesquitertia sesquialtera proportione; hoc igitur ita praedicto, disponantur superiores numeri qui proportionem commatis continebant, id est 531441, et sit A. Sit etiam B 524288; horum differentia sit C 7153: C igitur numerus maiorem numerum eo qui est A septuagies quinquies metiatur. |
| 6 | Si igitur C numerum A septuagies quinquies multiplices, fiet mihi D qui est 536475. Igitur D numerus eum qui est A, numero eo qui est E antecedit, id est 5034. Rursus C numerus cum qui est B metiatur septuagies quater multipliceturque, fiet igitur numerus F 529322. Qui F eo qui est B maior est eodem E numero qui est 5034. Ergo D numerus eum qui est A transcendit E numero, B autem numerus ab eo qui est F vincitur eodem E numero. Si igitur A numero eumdem E apponamus, fiet D. Si vero B numero eumdem E apponamus, fiet F. Sed D numerus septuagies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. |
| 7 | F autem septuagies quater multiplicato C crevit; obtinent igitur inter se proportionem D atque F quam habent 75 ad 74. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E, maiorem igitur necessarie est proportionem contineri inter A atque B quam inter D atque F. Namque A atque B numerus, uno E addito, effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est quae inter 75 et 74. Inter A igitur atque B maior proportio est quam inter 75 et 74. Ac A atque B comma continent. |
| 8 | Maior igitur proportio est commatis quam 75 atque 74. Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem maiorem esse quam eam quam 75 continent ad 74 comparati; nunc ostendendum est quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes, quam 74 ad 73 comparati. Id vero monstrabitur hoc modo: reminiscendum prius est quod secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. |
| 9 | Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi qui relinquuntur maiorem obtinebunt proportionem his numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint enim 8 et 6. Ab his propriam aufero differentiam, id est 2, fiunt 6 et 4. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesquialtera proportio continetur. Maior vero est sesquialtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur iidem A atque B. Qui sunt superius descripti, quorum est differentia C. Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, sit mihi numerus F, scilicet 529322. Qui A numero comparatus vincitur numero G, scilicet 2119. Rursus idem C multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est 522169. Qui comparatus B numero vincitur eodem G, scilicet 2119. Sublato igitur G de numeris A atque B, effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retinebit A atque B quam F atque K. Sed F atque K eam retinent proportionem quam 74 ad 73, hi enim multiplicato C effecti sunt. |
| 10 | Minor est igitur proportio A atque B numerorum comma continentium quam 74 ad 73. Sed paulo ante monstratum est eamdem commatis proportionem maiorem esse quam 75 ad 74. Monstrati sunt igitur numeri qui comma continent, maiorem quidem inter se habere proportionem quam 75 ad 74, minorem vero quam 74 ad 73, quod oportebat ostendere. |