Boethius, De Musica, 3, CAPUT PRIMUM. Adversus Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dimidii in aequa non posse, atque ideo nec tonum.
| 1 | Superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis copulari ac semitonio, diapente vero ex tribus tonis ac semitonio constare. Sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si sigillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. |
| 2 | Sed quoniam Aristoxenus musicus, iudicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum, demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse dividi in integram medietatem. |
| 3 | Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quorum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione, sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut harmonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. |
| 4 | Quod si id demonstrabitur, nec illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, quae tonus est in dimidia posse discerni, quando quidem sesquioctava omnis insuperparticulari inaequalitatis genere consistit. Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit quae, interposito medio termino, aequis proportionibus dividatur, non est dubium quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. |
| 5 | Quod si videtur consonum auribus aliquid canere, cum cuilibet voci duobus tonis ac semitonio integro distans vocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur. Sed quoniam sensus omnis quae minima sunt comprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. |
| 6 | Nam quod in minimo haud sane cernitur, compositum coniunctumque cum iam magnum esse coeperit pervidetur. A qua igitur proportione est ordiendum an compendium dabimus quaestioni, si ab eo de quo quaeritur ordiamur. Id vero est tonus, in duo aequa possit partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum, et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum est. |
| 7 | Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt 8 atque 9. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non sit eosdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. |
| 8 | Fiunt igitur 16 ac 18, inter hos vero naturaliter numerus cadit qui est 17; igitur 18 ad 16 tonus est. Sed 10 et 8 ad 10 et 7, comparatus habet eum tonum, et eius septimam decimam partem. Septima decima vero pars minor est sexta decima naturaliter. Maior est igitur proportio quae sub 16 ac 17 numeris continetur, quam ea quae sub 17 ac 18. Qui disponantur hoc modo, et sit A 16, C 17, B 18. Medietas igitur integra toni inter C ac B nullo modo cadet. |
| 9 | Minor est enim C B proportio C A proportione. Ad maiorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas D. Quoniam igitur D B quidem proportio, quod est integrum dimidium toni, maior est C B proportione, quae est minor pars toni, A C autem proportio quae est maior pars toni A D proportione maior est, quod est dimidium toni, est autem A C proportio sesquisextadecima, C B autem sesquiseptimadecima, non est dubium quin integra medietas inter sesquisextadecimam ac sesquiseptimamdecimam cadat. |
| 10 | Sed hoc in integro numero nullo modo poterit inveniri. Quoniam vero ad 16 numerum 17 numerus comparatus, supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si eiusdem 17 numeri sextam decimam requiramus, erit unitas, atque unitatis pars 16, hanc si eidem 17 numero coniungamus, fiunt 18 et pars sexta decima. Si igitur 18 et pars sexta decima 16 numero comparetur, recte toni mensuram videtur excedere, cum ad eum solus 18 numerus sesquioctavam custodiat proportionem. |
| 11 | Unde fit ut quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium. Quidquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur quod transcendit. Quocirca super sesquisextadecima, non erit toni dimidium. Ac per hoc, nec alia ulla maior sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit maior. Sed quoniam, sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, videamus an ea tonum bis multiplicata non impleat, 17 igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus 18. In eadem igitur proportione si ad 18 numerum alium comparemus, erit 19 et septimadecima pars. |
| 12 | Quod si ad 17 terminum in sesquioctava proportione positum numerum comparemus, fient 19, et pars octava. Maior vero est pars octava parte septima decima. Maior igitur est proportio numerorum 17 ac 19 et octava quam ea quae in 17 ac 19 et parte septima decima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones. |
| 13 | Duae igitur sesquiseptimaedecimae unum tonum non videntur implere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non implet integrum, non continet dimidium. Semper enim dimidium duplicatum ei cuius dimidium est coaequatur. |