Boethius, De Musica, 2, CAPUT XXVIII. Demonstrationes non esse: 243 ad 256 toni medietatem.
| 1 | Approbo igitur 243 ad 256 distantiam non esse integram toni medii dimensionem. Etenim ducentorum quadraginta trium et ducentorum 56, differentia 13 tantum unitatibus continetur. Qui tredecim minus quidem quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies tredecim ducas, efficies 234, qui 243 nullo modo aequabit; si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari. |
| 2 | Quod posterius demonstrabitur. Nunc illud liquebit talem semitonii distantiam sibimet geminatam, unum toni spatium non posse complere. Age enim ut sese 256 ad 243 habent, tales duas sibimet continuas proportiones, secundum superius descriptam regulam disponamus; 200 enim et 50 et 6 in semetipsos multiplicemus, et sit maximus terminus 65536. Item 243 propria numerositate concrescant, et sit minimus terminus 59049. Rursus igitur 256 ad ducentorum 43 multitudinem concrescant. Erit igitur numerus 62208; hic igitur medius collocetur hoc modo: In eadem igitur sunt proportione ducenti 56 et 243, In qua 65536 ad 62208; et item 62208 ad 59049. Sed maximus eorum terminus, qui est 65536, ad minimum qui est 59049, unum integrum non efficit tonum. |
| 3 | Quod si primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni, integri esse semitonii probaretur, duo dimidia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non videri. Quidquid enim cuiuscunque est dimidium, id si duplicetur illud efficit, cuius dicitur esse dimidium. |
| 4 | Si vero illud implere non possit geminata particula, minus est parte dimidia. Si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia . Praeterea probabuntur 65536 non facere sesquioctavam proportionem. Si 59049 unitatibus comparentur, si octava pars 59049, eisdem secundum eas quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. |
| 5 | Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eamdem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae computandam. Liquet igitur eam proportionem quae in 256 et 243 est constituta, non esse integrum dimidium toni; quocirca id quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia. (Pinxissem totum spatium toni. At minimus terminus puta 59049 praecedentem sesquioctavam non habet, cum ipse sit quintus sesquioctavus, quinti octupli. Ut id in figurula ante picta comperies.) |