Boethius, De Musica, 2, CAPUT XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerant medietates.
| 1 | Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreantur dicendum est. Praedictum est enim quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. |
| 2 | Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur: positis enim tribus aequis terminis, hi duo modi sunt quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus. Secundus primo et secundo. Tertius primo secundo ac tertio, quod hoc monstratur exemplo: Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus id est unus. Secundus primo ac secundo, id est duo. Tertius primo secundo ac tertio, id est tres, eritque dispositio talis: Rursus sint tres binarii inaequalitate constituti, 2, 2, 2: ponatur primus primo aequus, id est 2. Secundus primo et secundo, id est 4. Tertius primo secundo ac tertio, id est 6, et erit dispositio haec: Sed in his hoc speculandum est, quod unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum intermittunt. Si vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia, et unus inter terminos semper numerus intermittitur. |
| 3 | Sin vero ternarius idem differentia est, inter terminos vero duo naturaliter constituti intermittentur, ac deinceps in hunc modum: Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituaturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo et duobus secundis ac tertio, ut si sint tres unitates. Sit primo primo ac secundo aequus, id est secundo. Secundus vero primo, ac duobus secundis, id est lertio. |
| 4 | Tertius autem primo, duobus secundis ac terlio, id est quatuor. Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet; inter binarium enim et unitatem, atque inter ternarium ac binarium, unitas interest. Nullus vero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter constitutus; idem rursus in binario fiat. |
| 5 | Sintque tres binarii, et sit primus primo ac secundo aequus, id est quaternarius; secundus vero primo et duobus secundis, id est senarius; tertius autem primo, duobus secundis ac tertio, id est octonarius. Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum, uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter 4 et 6 quinarius naturaliter intermittitur, inter 6 atque 8 septenarius collocatur. |
| 6 | Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia; verbi gratia: Sint termini tres ad regulas superiorum subtus. In his ergo ternarius est differentia, et duo numeri intermissi, id est uno minus quam sit differentia semper numeris intermissis, atque idem et in quaternario, quinarioque perspicitur, et quae nos propter brevitatem tacemus, iisdem regulis ex semetipso diligens lector inveniet. |
| 7 | Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando quemadmodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluit monstrabamus, nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis, ponatur primus primo aequus. Secundus primo ac secundo. Tertio primo duobus secundis ac tertio. Idemque fiat continue atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. |
| 8 | Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus; quod si ad haec illis instructus lector accedat, nullo dubitationis errore turbabitur. Harmonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, siquidem duplices curamus effingere, tribus aequis terminis positis, primus primo ac duobus secundis aequalis. |
| 9 | Secundus duobus primis et duobus secundis. Tertius semel primo, bis secundo, et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates. Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternarius. Secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est quaternarius. Tertius vero primo ac duobus secundis et tribus tertiis, id est sex. Et si in binariis aequalitas construatur, vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subiectae descriptiones monent. Quod si facienda est in extremitatibus tripla proportio, tribus aequis terminis constitutis, primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subiecta descriptio. Sed ingressi harmonicam disputationem quae de ea diligentius dici possunt tacite praetereunda esse non arbitror. |
| 10 | Collocetur igitur harmonica proportionalitas, inque ea descriptione superiore ordine termino rum inter se differentiae disponantur. Videsne igitur ut quatuor ad tres diatessaron consonantiam prodant, sex ad quatuor diapente concordent; sex vero ad tres diapason misceant symphoniam, ipsaeque earum differentiae rursus eamdem statuant consonantiam. |
| 11 | Binarius enim ad unitatem duplus est in diapason consonantia constitutus; quod si se extremitates multiplicent, itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim sex efficiunt 18, quater fient 16. Sed 18 numerus, 16 numerum minoris parte octava transcendit. |
| 12 | Rursus minimus terminus si se ipse multiplicet, efficiet 9. Quod si maior terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet 36, qui sibimet comparati, quadruplam, id est bis diapason, concinentiam servant. Quod si haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis rei differentiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus, si medio multiplicetur, fient 12. Item minimus terminus, si maximo multiplicetur, fient 18. Medius vero terminus, si maximi numerositate augeatur, fiant 24. Rursus terminus minimus, si seipso concrescat, fient 9. Eodem modo si medius, fiant 16. Senarius vero, qui maximus est, si seipsum multiplicet, 36 reddet: haec igitur in ordinem disponantur, 36, 24, 18, 16, 12, 9. Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes 24 ad 18, et 12 ad 9, diapente vero 18 ad 12, et 24 ad 16, et 36 ad 24. Tripla autem quae est diapason et diapente 36 ad 12. Quadrupla vero quae est bis diapason 36 ad 9. Epogdous vero qui tonus est 18 ad 16 comparatione servatur. |