Boethius, De Musica, 2, CAPUT IX. De proportione numerorum qui ab aliis metiuntur.
| 1 | Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri 50, 55; hi ergo ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri 50. Hic igitur metietur quidem 50 numerum decies, 55 vero undecies; secundum decem igitur atque 11 numeros 55 et 50 propria differentia, id est quinarius, permetietur, et sunt 11 ad 10 sesquidecima comparatione compositi. |
| 2 | In eadem igitur sunt proportione numeri quos propria differentia integra permensa est, in qua sunt hi secundum quos eos propria differentia est permensa; quod si qua differentia numerorum ita eos numeros quorum est differentia metiatur, ut eamdem mensuram numerorum pluralitas excedat, idemque in utrisque sit excessus, et sit diminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. |
| 3 | Sint enim numeri duo 53, 58; hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur 53 quinarius decies usque ad 50, relinquit vero ternarium. Rursus 58 numerum metitur idem undecies usque ad 55, atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt 50 et 55, qui disponatur hoc modo: In hoc igitur manifestum est maioris esse proportionis inter se 50 et 55 quam 53 et 58. In minoribus enim numeris maior semper proportio reperitur, quod paulo posterius demonstrabimus. |
| 4 | Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat, eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minores erunt proportiones numeri superius mensi cum additione eius summae qua utrosque metiens differentia supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri 48 et 53, horum quinarius differentia est. |
| 5 | Metiatur igitur 48 numerum, quinarius decies fiunt 50. Supervadit igitur 50 numerus 48 numerum binario, idem quinarius 53 undecies metiatur fiunt 55, qui eisdem rursus duobus 53 numerum supervadit; addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo: Minores igitur sunt proportiones 50 ad 55 comparati, cum additione scilicet binarii quo differentia eos metiens supervadit, quam 48 et 53 numeri quos eadem, quae tamen in eis supercrevit, quinarii differentia permensa est. |
| 6 | Maiores vero et minores proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars maior est quam tertia. Tertia pars est maior quam quarta. Quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit ut sesquialtera proportio maior sit sesquitertia, et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in caeteris. Hinc evenit ut in numeris maioribus minor, et minoribus maior semper videatur proportio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali: disponatur enim numerus naturalis 1, 2, 3, 4. Binarius igitur ad unitatem duplus est. |
| 7 | Ternarius ad binarium sesquialter est. Quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Maiores vero sunt numeri tres et 4. Minores vero binarius et unitas, in maioribus igitur minor, et in minoribus maior proportio continetur; hinc apparet quod si aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem, aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aeque pluralitatia augmentum, quam posteaquam eis aequa sit addita pluralitas. |