monumenta.ch > Boethius > 11 > 38 > 50
Boethius, De Arithmetica, 2, XLIX. De geometrica harmonia. <<< >>> LI. De tribus medietatibus quae harmonicae et geometricae contrariae sunt.
Boethius, De Arithmetica, 2, CAPUT L. Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus terminis, arithmetica, geometrica, et harmonica inter eos medietas alternetur, atque de eorum generationibus.
1 Nos autem praestare debemus, quatenus quemadmodum dato calamo, extremis foraminibus manentibus musicis mos est, ut medium foramen permutantes, atque aliud aperientes, aliud digitis occludentes, diversos emittant sonos, vel cum duabus altrinsecus protensis chordis, medii nervi sonum musicus vel astringendo tenuat, vel remittendo gravat, ita quoque datis duobus numeris, nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc autem harmonicam medietatem experiamur inserere, ut rectum propriumque medietatis nomen sit, quod manentibus extremitatibus huc atque illuc ferri permutatique videatur.2 Poterimus autem hanc in duobus altrinsecus positis terminis, vel paribus vel imparibus permutare, ita ut cum arithmeticam ponimus medietatem differentiarum tantum ratio aequalitasque servetur. Cum vero geometricam, rata se proportionum iunctura custodiat. Sin autem harmoni a fiat differentiarum comparatio, ab terminorum proportione non discrepet.3 Et sint quidem primo pares positae quaedam extremitates, inter quas has omnes medietates oporteat internectere, 10 et 40. Prius igitur arithmetica medietas aptetur. Inter hos ergo si 25 posuero, erit mihi arithmetica proportio differentiarum quantitate immutabiliter custodita, in huiusmodi, scilicet dispositione 10, 25, 40. Vides enim ut quindenae sese summulae quantitate transcendant. Omnesque proprietates, quas supra diximus in medietate arithmetica convenire ab hac huiusmodi dispositione non reperies alienas.4 Namque quemadmodum unusquisque eorum terminus ad seipsum est, quoniam sibi aequalis est, ita sunt ad se invicem differentiae quoniam sibi sunt aequales, et quanto maior terminus medium transit, tanto medius vincit minorem. Et extremitatum aggregatio duplex est medietate, et minorum terminorum proportio maior est illa comparatione, quae inter maiores terminos continetur. Et tanto minor est numerus qui fit ex multiplicatis extremitatibus, ab eo qui fit ex multiplicata medietate, quantum eorum differentiae multiplicatae restituunt.5 Illud quoque quod medietas eadem sui parte et a maiore vincitur, et minorem ipsa supervenit, non eadem autem parte minoris minorem transit, vel maioris a maiore relinquitur, quae omnes scilicet proprietates non alterius nisi arithmeticae medietatis sunt. Quod si superius dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelliget. Rursus si inter eosdem 10 et 40 viginti constituam, statim geometrica medietas cum suis proprietatibus cunctis exoritur, arithmetica medietate pereunte.6 In hac enim dispositione 10, 20, 40, quemadmodum est maior ad medium, sic medius ad extremum. Et quod continetur ab extremitatibus, aequum est ei quod a multiplici medietate completur. Differentiae quoque eorum in eadem sunt proportione qua termini. Crementum vero et imminutio proportionum secundum terminos nulla est, sed maiorum terminorum proportio a minorum terminorum proportione non discrepat.7 Si vero harmonicam medietatem coniungere velim, 16 mihi numerus inter extremitates utrasque ponendus est, ut sit hoc modo 10, 16, 40. Nunc igitur licet in huiusmodi dispositione omnes harmonicas proprietates agnoscere, qua enim maximus ad parvissimum terminus proportione iungitur, eadem proportione differentiae ad se invicem comparantur. Et quibus partibus maioris a maiore medius vincitur, eisdem partibus minoris praeterit minorem.8 Suis vero non eisdem vel a maiore vincitur, vel transit minorem. Et in maioribus terminis maior est proportio, in minoribus minor. Et si in unum extremitates redigantur, et medietatis quantitate concrescant, duplus inde conficitur numerus ab eo qui ex solis multiplicatis extremitatibus procreatur. Atque hoc quidem in terminis paribus constitutum est.9 At vero si impares proponantur, ut sunt 5 et 45, aptatus medius 25, arithmeticam proportionem medietatemque constituit. Nam si sint 5, 25, 45, eadem sese numerorum quantitate termini transgredientur, et omnis superius dicta proprietas arithmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si 15 numerum medium ponam, ut sint 5, 15, 45, in geometricam medietatem termini relabuntur, aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis.10 Novem vero si inter utrosque terminos ponam, ut sint 5, 9, 4, 5, fit harmonica medietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem maior differentia minorem differentiam vincat. Qua vero disciplina huiusmodi medietates reperiri possimus, expediendum est. Datis duobus terminis, si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas coniungenda, quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus qui ex divisione redactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet: ut 10 et 40 si iunxero efficiunt 50, quos si dividam, 25 redduntur.11 Hic erit medius terminus secundum arithmeticam proportionem. Vel si illum numerum quo maior minorem superat dividas, eumque minori superponas, quodque inde concrescit medium ponas, arithmetica medietas informatur. Nam 40 denarium tricenario superat; quem si dividas 15 fiunt; hunc si minori, id est denario, superposueris, 20 et 5 nascentur; quem si medium constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur.12 Geometricam vero si rationem vestiges, eius numeri qui sub utrisque extremitatibus continetur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub 40 et denario numero 400 continentur. Si enim denarium in 40 multiplices, hic numerus crescit. Horum igitur quadringentorum require tetragonicum latus, hi sunt 20. Vicies enim 20, 400 efficiuntur. Repertum ergo latus quadratum, medium constitues.13 Vel si eam proportionem quam inter se dati termini custodiunt dividas, et id quod relinquetur medium terminum ponas. Namque 40 ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet 20. Nam 20 ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perferet. Harmonicam vero medietatem, tali modo reperies: differentiam terminorum in minorem terminum multiplica, et post iunge terminos, et iuxta eum qui inde confectus est, committe illum numerum qui ex differentiis et termino minore productus est.14 Cuius cum latitudinem inveneris, addas eam minori termino, et quod inde colligitur medium terminum pones, 10 enim et 40, 30 sunt; quem si multiplicas in denarium, id est in minorem, decies 30, oportet 300 efficias. Quos 300 iuxta eum committe qui ex iunctis utrisque confectus est, id est iuxta 50, facient enim quinquagies senos, et invenitur latitudo senarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient 16, et hic numerus medius constitutus inter 10 et 40, harmonicam proportionem medietatemque servabit.
Boethius HOME
bnf1614.81 bnf6639.147 bnf11241.77 bnf11242.90 bsb46504.241 cec83.136 cec185.176 cec186.128 csg248.50 sbe358.130 vad296.42v
Boethius, De Arithmetica, 2, XLIX. De geometrica harmonia. <<< >>> LI. De tribus medietatibus quae harmonicae et geometricae contrariae sunt.
monumenta.ch > Boethius > 11 > 38 > 50
© 2006 - 2025 Monumenta Informatik