monumenta.ch > Boethius > 52 > 46 > 47
Boethius, De Arithmetica, 2, XLVI. Quod superficies una tantum in proportionalitatibus medietate iungantur, solidi vero numeri duabus me dietatibus in medio collocantur <<< >>> XLVIII. Quare dicta sit harmonica medietas ea quae digesta est.
Boethius, De Arithmetica, 2, CAPUT XLVII. De harmonica medietate eiusque proprietatibus.
1 Harmonica autem medietas est quae neque eisdem differentiis, nec aequis proportionibus constituitur, sed ila in qua quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum ponitur; sic differentia maximi et medii contra differentiam medii atque parvissimi comparatur. Ut si sint 3, 4, 6, vel si 2, 3, 6. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus; quaternarius vero ternarium sua quarta parte supervenit, id est uno; et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transcendit.2 Quare in his neque eadem proportio terminorum est, neque sunt eaedem differentiae. Est autem quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum, sic differentia maximi et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est, 3, 4, 6, maior terminus, id est senarius ad parvissimum terminum ternarium duplus est, et differentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo scilicet ad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternarii, quae est unitas, dupla perspicitur. Sed hoc quoque subiecta descriptione monstratur: Habet autem proprietatem, quemadmodum dictum est, contrariam arithmeticae medietati.3 In illa enim, in minoribus terminis maior erat proportio, in maioribus minor; in hac vero, in maioribus quidem terminis maior est proportio, in minoribus vero minor. Namque in hac dispositione 3, 4, 6, tres ad quatuor comparati sesquitertiam habitudinem, sex vero ad quatuor sesquialteram reddunt; sed maior est proportio sesquialtera a sesquitertia, tantum quantum pars tertia medietate transcenditur.4 Iuste igitur medietas quaedam geometrica proprieque esse proportionalitas iudicatur, scilicet inter eam ubi in maioribus terminis minor est proportio, et minoribus maior, et inter eam ubi in maioribus maior est, in minoribus minor. Illa est enim vere proportionalitas quae, medietatis quodammodo locum obtinens, et in maioribus et in minoribus, aequalibus proportionum comparationibus continetur.5 Hoc quoque signum est, duarum extremitatum mediam esse quodammodo geometricam proportionem. Namque in arithmetica proportione, medius terminus eadem sua parte, et minorem praecedit et a maiore praeceditur, sed alia parte minoris, alia vero parte maioris. Sit enim arithmetica dispositio 2, 3, 4. Ternarius igitur numerus binarium tertia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno.6 At vero ternarius non eadem parte minoris minorem vincit, vel maioris a maiore superatur. Namque minorem, id est binarium, uno superat, id est ipsius medietate binarii, a quaternario vero uno relinquitur, quae pars quaternarii quarta est. Recte igitur dictum est medium terminum in huiusmodi medietate eadem sui parte et minorem vincere et a maiore superari, sed non eisdem partibus, vel minoris minorem transgredi, vel maioris a maiore transcendi. Contrarie harmonica medietas proportiones habet.7 Namque non eadem parte sua, medius terminus in hac proportione vel minorem vincit, vel a maiore superatur, sed eadem parte minoris minorem superat, qua parte maioris a maiore superatur. In hac enim dispositione harmonica, quae est 2, 3, 6, ternarius binarium tertia sui parte vincit, idem ternarius a senario tota sui quantitate superatur, id est tribus.8 Idemque ipse ternarius, medietate minoris vincit minorem, id est uno, et medietate maioris a maiore termino vincitur, id est tribus. Senarii enim medietas ternarius est. In geometrica vero medietate, neque eisdem suis partibus medius vel vincit minorem, vel a maiore vincitur, neque eadem parte vel minoris minorem superat, vel maioris a maiore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, eadem parte sua maior terminus medium vincit.9 Quod est ut medietas atque extremitas, aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis partibus supervadant. In hac enim dispositione, quae est 4, 6, 9, te tia sui parte medius senarius quaternarium superat, id est duobus, et tertia sui parte rursus novenarius senarium vincit, id est tribus. Habet autem aliam proprietatem harmonica medietas, ut cum duas extremitates in unum redactas, medietas multiplicaverit, dupla quantitas colligitur, quam si se multiplicent duae extremitates.10 Sint enim hi termini 3, 4, 6. Si igitur ternarium et senarium iungas, novenarium facies, qui per quaternarium ductus 36 efficit. Quod si se ipsae extremitates multiplicent, et fiant tres sexies, 18 conficiunt, quod est prioris summae dimidium.
Boethius HOME
bnf1614.78 bnf6639.144 bnf11241.72 bnf11242.83 bsb46504.230 cec83.127 cec185.165 cec186.120 csg248.47 sbe358.125 vad296.40v
Boethius, De Arithmetica, 2, XLVI. Quod superficies una tantum in proportionalitatibus medietate iungantur, solidi vero numeri duabus me dietatibus in medio collocantur <<< >>> XLVIII. Quare dicta sit harmonica medietas ea quae digesta est.
monumenta.ch > Boethius > 52 > 46 > 47
© 2006 - 2025 Monumenta Informatik