monumenta.ch > Boethius > 44
Boethius, De Arithmetica, 2, XLIII. De arithmetica medietate eiusque proprietatibus. <<< >>> XLV. Quae medietates, quibus rerum publicarum statibus comparentur.
Boethius, De Arithmetica, 2, CAPUT XLIV. De geometrica medietate eiusque proprietatibus.
1 Nunc vero quae hanc sequitur geometrica medietas expediatur, quae sola vel maxime proportionalitas appellari potest, propterea quod in ea eisdem proportionibus terminorum, vel in maioribus vel in minoribus speculatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custoditur, numeri quantitas multitudoque negligitur contrarie quam in arithmetica medietate, ut sunt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Vel in tripla proportione 1, 3, 9, 27, 81. Vel si quadrupla, vel si quincupla, vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta distensio.2 In his enim quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medietatem, quemadmodum ante prior ad sequentem, ita sequens ad alium. Et rursus, si permixte facias, idem erit. Si enim ponantur tres termini 2, 4 et 8, quemadmodum sunt 8 ad 4, ita 4 ad 2. Atque hoc si convertas, quemadmodum sunt 2 ad 4, ita erunt 4 ad 8. Vel si in quatuor terminis, ut sunt 2 et 4, 8 et 16, quemadmodum est primus ad tertium, id est 2 ad 8 sic erit secundus ad quartum, id est 4 ad 16. Utraque enim proportio quadrupla est.3 Et conversim, quemadmodum quartus est ad secundum, ita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disiuncte licet. Nam quemadmodum est primus ad secundum, id est 2 ad 4, sic tertius ad quartum, id est 8 ad 16; et conversim, quemadmodum secundus ad primum, id est 4 ad 2, ita quartus ad tertium, id est 16 ad 8, idque in omnibus rata consideratione perspicies. Habet autem proprium huiusmodi medietas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalitatem terminorum differentiae in eadem proportione contra se sunt, qua fuerint ipsi termini quorum sunt ipsae differentiae.4 Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam differentiae sive tripli triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem, eadem in differentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subiecta descriptio monet. Nulli igitur dubium esse potest, quod cum omnes termini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis, omnes pene dispositos subter terminos quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium, quod omnis ad minorem maior terminus comparatus ipsum minorem retinet differentiam.5 Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario, et octonarius quaternario ipso quaternario, et deinceps maiores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit. Sin vero sint triplices proportiones, maior terminus a minore termino, duplicato minore termino differt.6 Ut si sint 1, 3, 9, tres ab uno, binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat, et 9 a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis eiusmodi ratio reperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino, maior terminus a minore distabit. Et si quincupli, quadruplicato, et si sexcupli, quincuplicato, et una minus multiplicatione quam est ipsa minorum ad maiores comparatio terminorum, minorem numerus maior exsuperat. Haec autem proportionalitas et in aliis omnibus, vel superparticularibus, vel superpartientibus, invenitur, huiusmodi proprietate in omnibus conservata, ut in continua proportione, quod fit sub extremitatibus si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat.7 Si enim sint 2, 4, 8, quod fit ex bis 8, idem fit ex quater 4. Vel si sit in quatuor terminis disiuncta proportio, quod fit sub utrisque extremitatibus, id duarum medietatum multiplicatione concrescat. Ut si sint 2, 4, 8, 16, quod fit ex bis 16, id ex quater 8 reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi.8 Illic enim, in omnibus vel multiplicibus, vel superpartientibus, vel superparticularibus, vel in caeteris coniunctis, geometrica proportionalitas custoditur, has omnes proprietates quas supradiximus continens. Quarta vero est proprietas huiusce medietatis, quod vel in maioribus vel minoribus terminis aequales semper proportiones sunt.9 Namque si ponantur 2, 4, 8, 16, 32, 64, inter hos omnes dupla proportio est. Apparet etiam haec proportionalitas in binis proportionibus, ab unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis, a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticulares habitudines proportionesque discurrens, quod subiecta descriptione signatum est.
Boethius HOME
bnf1614.74 bnf6639.140 bnf11241.69 bnf11242.79 bsb46504.222 cec83.121 cec185.156 cec186.113 csg248.44 sbe358.120 vad296.38v
Boethius, De Arithmetica, 2, XLIII. De arithmetica medietate eiusque proprietatibus. <<< >>> XLV. Quae medietates, quibus rerum publicarum statibus comparentur.
monumenta.ch > Boethius > 44
© 2006 - 2025 Monumenta Informatik