monumenta.ch > Boethius > 28 > 51 > 16 > 43
Boethius, De Arithmetica, 2, XLII. Quod primum de ea quae vocatur arithmetica proportionalitate dicendum est. <<<     >>> XLIV. De geometrica medietate eiusque proprietatibus.

Boethius, De Arithmetica, 2, CAPUT XLIII. De arithmetica medietate eiusque proprietatibus.

1 Arithmeticam medietatem vocamus, quoties vel tribus vel quotlibet terminis positi, aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos invenitur. In qua, neglecta proportionis aequalitate, terminorum tantum differentiarumque speculatio custoditur, ut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. In hac enim naturalis numeri dispositione, si quis continuatim differentias terminorum curet aspicere, secundum arithmeticam medietatem, aequa terminorum inter se discrepantia est.2 Aequales enim sunt differentiae, sed eadem proportio atque habitudo non est. Si igitur in tribus terminis consideratio sit, continua proportionalitas dicitur. Sin vero hic alius dux et alius comes, illic vero utrique sint alii, vocabitur disiuncta medietas. Si igitur in tribus tantum terminis secundum continuam medietatem conspexeris, vel in quatuor, vel in quolibet aliis secundum disiunctam, easdem semper differentias terminorum videbis, tantum solis proportionibus permutatis.3 Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit continua medietas 1, 2, 3. Hic unus a duobus, et duo a tribus, solis tantum singulis distant, et sunt eaedem differentiae, proportiones vero aliae. Namque duo ad unum duplus est, tres ad duo, sesquialter, et in caeteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas, et in his aliquam speculationem ponas, idem poterit evenire.4 Nam si aequales terminos intermittas, et sese in priore dispositione praetereant, si singulos intermittas, solius binarii notabitur differentia, sin vero duo praetereas, ternarii, si tres, quaternarii, et ad eumdem modum uno plus quam intermiseris, erit illa quam quaerimus differentia terminorum. Namque si in tribus terminis singuli relinquantur, binarius semper intererit. Videsne ut cum superius in naturalis numeri dispositione se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et 4, unus ad tres, et 3 ad quinarium comparati, binarium solum in differentia retinuerint.5 Nec non etiam in disiuncta eadem versabitur observatio. Talibus igitur vestigiis insistentem, nullus ab eadem similitudine error abducet. Namque si duos intermittas, ternarius differentiam continebit, si tres, quaternarius, si quatuor, quinarius, aeque in continuis proportionibus atque disiunctis. Qualitas autem proportionis eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi.6 Quod si conversim ponantur, ut non eisdem differentiis eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis proportionalitas, non arithmetica nominatur. Est autem proprium huius medietatis, quod si in tribus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus, illa summa quae inter extremitates est, non loco tantum, verum etiam fit quantitate medietas.7 Ut si ponantur 1, 2, 3, unus et tres quatuor reddunt. Duo vero qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. Bis enim duo, quatuor creant. Sin vero disiuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medietatibus redditur. Si enim sunt 1, 2, 3, 4, unus et quatuor quinarium creant, duo et tres medii in eumdem rursus quinarium surgunt. Est illi hoc quoque solida proprietate coniunctum, quod quemadmodum sunt omnis termini huiusmodi dispositionis ad seipsos, ita sunt differentiae ad differentias constitutae.8 Namque omnis terminus sibi ipsi aequalis est, et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque subtilius, quod multi huius disciplinae periti, nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni dispositione, vel continua, vel disiuncta, quod continetur sub duabus extremitatibus, minus est eo numero qui ex medietate conficitur, tantum quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos huiusmodi 3, 5, 7. Si igitur tres septies augeantur, in 21 numerum cadunt.9 Quod si medium terminum, id est 5, in semetipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt 25. Et hic numerus ab eo quem extremitates colligunt, quaternario maior est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter 3 enim et 5 et 7 bini intersunt quos si in sese multiplices 4 reddunt, bis enim duo, quatuor fiunt.10 Recte igitur dictum est, in hac huiusmodi dispositione quod continetur sub extremitatibus, minus esse illo numero qui fit ex medietate, tantum quantum differentiae in se multiplicatae restituunt. Quartum vero proprium huiusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in hac proportionalitate vel medietate, in minoribus terminis maiores proportiones, in maioribus minores comparationes necesse est inveniri.11 Namque in dispositione hac 1, 2, 3, minores sunt termini 1 et 2, maiores 2 et 3, et 2 ad unum duplus est, 3 vero ad 2 sesquialter, sed maior est proportio dupli quam sesquialtera. In harmonica autem medietate, econtrario evenire contingit. In minoribus enim terminis minores proportiones, in maioribus maior proportionis quantitas custoditur.12 Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque harmonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in maioribus vel in minoribus terminis, aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter maius vero et minus, aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica quidem medietate satis dictum est. Boethius HOME
bnf1614.71 bnf6639.139 bnf11241.67 bnf11242.77 bsb46504.217 cec83.116 cec185.150 cec186.109 csg248.43 sbe358.117 vad296.37r

Boethius, De Arithmetica, 2, XLII. Quod primum de ea quae vocatur arithmetica proportionalitate dicendum est. <<<     >>> XLIV. De geometrica medietate eiusque proprietatibus.
monumenta.ch > Boethius > 28 > 51 > 16 > 43

© 2006 - 2025 Monumenta Informatik