monumenta.ch > Boethius > 33
Boethius, De Arithmetica, 2, XXXII. Quod omnia ex eiusdem natura et alterius natura consistunt, idque in numeris primum videri. <<<     >>> XXXIV. Quod ex quadratis ex parte altera longioribus, omnis formarum ratio consistat.

Boethius, De Arithmetica, 2, CAPUT XXXIII. Ex eiusdem atque alterius numeri natura, qui sunt quadratus et parte altera longior, omnes proportionum habitudines constare.

1 Disponantur ergo in ordinem non iam pares atque impares, ex quibus quadrati vel parte altera longiores fiunt, sed hi ipsi qui illis coacervatis in unumque redactis, et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quemdam consensum, et ad caeteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium, et a binario numero parte altera longiorum. Horum igitur si primum compares primo, dupli quantitas invenitur, quae est prima multiplicitatis species. Si vero secundum secundo, hemioliae quantitatis habitudo producitur.2 Si tertium tertio, sesquitertia proportio procreantur. Si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta. Et hinc superparticularium normam in quodvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque reperies. Ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia. Duo namque ab uno sola semper discrepant unitate.3 In sesquialtera vero duorum est differentia, in sesquitertia trium, in sesquiquarta 4, et deinceps, secundum superparticulares formas numerorum, quod ad differentias attinet, uno tantum crescit adiecto numerum explicans naturalem. Sin vero secundum tetragonum, primo parte altera longiori compares, et tertium secundo, et quartum tertio, et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis quas in superiore forma descripsimus. Sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur.4 Eritque secundus primi duplus, tertius secundi sesquialter, quartus tertii sesquitertius, secundum eamdem convenientiam quae superius demonstrata est. Rursus quadrati invicem imparibus differunt, parte altera longiores, paribus. At vero si inter primum et secundum tetragonum, primum parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una proportione coniungitur.5 In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum tertiumque tetragonum, secundum parte altera longiorem ponas, sesquialterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum, tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascetur, et idem si in cunctis feceris, cunctas super particulares species invenire miraberis. Et ad eumdem modum in caeteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriptis, id est primus et secundus, et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior bis multiplicetur, tetragonus fit.6 Namque unus et 4, si iungantur, 5 faciunt, eorum binarius parte altera longior si bis ducatur, quatuor faciunt, qui iuncti, 9 sine ulla dubitatione conficient, qui est numerus quadratus. Et ad eumdem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intelligi. Si vero convertas, et inter duos primum et secundum parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis, et bis multiplicato medio tetragono, rursus tetragonus conficitur.7 Namque inter 6 et binarium numerum, qui sunt primus et secundus parte altera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, primus actu tetragonus, et coniungantur duo et sex, faciunt 8. Tum si bis ducantur medii, quatuor faciunt rursus octonarium, qui cum superioribus iuncti, sedecim tetragonum pandunt. Illud quoque non oportet minore admiratione suscipere, quod secundum proprias naturas, ubi altrinsecus duo tetragoni stant, et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus qui nascitur, ille semper ab impari procreatur.8 Nam ex superioribus, uno et 4 et bis multiplicato binario, factus est novenarius tetragonus, qui scilicet a tribus procreatur. Ter enim tres 9 faciunt, qui ternarius impar est numerus. Et sequens qui ex quatuor et 9, et bis multiplicato senario coniunctus, est 25 tetragonus, et ipse ex impari quinario nascitur continenti post ternarium.9 Quinquies enim quinque 25 procedunt, et quinarius post ternarium, impar est numerus. Et in sequenti quoquo eadem ratio est. Nam qui ex 9 et 16 et bis ducto 12 quadratus 49 producitur, ille a septenario impari fit post quinarium continenti. Septies enim septem 49 creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni, a paribus producuntur.10 Nam qui ex duobus et 6 parte altera longioribus et quaternario bis multiplicato, 16 tetragonus factus est, ille a quaternario numero, id est pari, producitur. Quater enim quatuor 16 sunt. Et in sequenti quoque ordine ubi ex senario et duodecim, et bis in suam summam ducto novenario, 36 fiunt, ex continenti pari senario copulantur.11 Sex enim sexies 36 restituunt. Nec minus in eamdem rationem cadet, ex 12 et 20 et bis 16 factus 64 tetragonus. Hic enim ex octonario continenti post senarium nascitur. Octies enim octo 64 tetragonum iungunt. Et in aliis quoque secundum eumdem modum si idem facias, rationis ordo non discrepat. Boethius HOME
bnf1614.62 bnf6639.132 bnf11241.58 bnf11242.68 bsb46504.200 cec83.103 cec185.131 cec186.97 csg248.37 sbe358.109 vad296.34r

Boethius, De Arithmetica, 2, XXXII. Quod omnia ex eiusdem natura et alterius natura consistunt, idque in numeris primum videri. <<<     >>> XXXIV. Quod ex quadratis ex parte altera longioribus, omnis formarum ratio consistat.
monumenta.ch > Boethius > 33

© 2006 - 2025 Monumenta Informatik