monumenta.ch > Boethius > 2
Boethius, De Arithmetica, 2, PRIMUM. Quemadmodum ad aequalitatem omnis inaequalitas reducatur. <<< >>> III. Quod multiplex intervallum ex quibus superparticularibus medietate posita, intervallis fiat, eiusque inveniendi regula.
Boethius, De Arithmetica, 2, CAPUT II. De inveniendo in unoquoque numero quot numeros eiusdem proportionis possit praecedere, eorumque descriptio, descriptionisque expositio.
1 Est autem quaedam in hac re profunda et miranda speculatio, et (ut ait Nicomachus) ἐννοιόφατον θεώρημα perficiens, et ad Platonicam in Timaeo animae generationem, et ad intervalla harmonicae disciplinae. Ibi enim iubemur perducere atque extendere tres vel quatuor sesquialteros, vel quotlibet sesquitertias proportiones, et sesquiquartas comparationes, eas quae secundum propositum ordinem, saepe continuas iubemur extendere.2 Ne autem hoc, labore quodam semper quidem maximo, frequentius inferaci fiat, hac nobis ratione, in quot numeris quanti possint esse superparticulares, investigandum est. Omnes enim multiplices, tantarum similium sibimet proportionum principes erunt, quoto ipsi loco ab unitate discesserunt. Quod autem dico, sibimet similium tale est, ut dupli semper multiplicitas (ut superius dictum est) sesquialteros creet, et triplex sit dux sesquitertiorum, quadruplus sesquiquartis.3 Primus ergo duplex unum solum habebit sesquialterum, secundus duos, tertius tres, quartus quatuor, et secundum hunc ordinem eadem fit in infinitum progressio. Neque unquam fieri potest ut vel superet proportionum numerum, vel ab eo sit diminutior aequabilis ab unitate locatio. Primus ergo duplex est binarius numerus, qui unum solum sesquialterum recipit, id est ternarium.4 Binarius enim contra ternarium comparatus sesquialteram efficit proportionem. Ternarius vero, quoniam medietatem non recipit, non est alter numerus ad quem in ratione sesquialtera comparetur. Quaternarius vero numerus, secundus duplex est, hic ergo duos sesquialteros praecedit. Est enim ad ipsum quidem comparatus senarius numerus, ad senarium vero, quoniam medietatem habet novenarius, et sunt duo sesquialteri, ad 4 scilicet 6, ad sex vero 9. Novenarius vero, quoniam medietate caret, ab hac comparatione seclusus est.5 Tertius vero duplex est 8, hic ergo 3 sesquialteros antecedit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duodenarium 18, ad 18 rursus 27. At vero 27 medio carent. Idem quoque in sequentibus evenire necesse est quod nos cum propria ordinatione subdidimus. Semper enim hoc, divina quadam nec humana constitutione, speculationibus occurrit, ut quotienscunque ultimus numerus invenitur, qui loco duplicis ab unitate sit par, talis sit ut in medietates dividi secarique non possit. Idem contingit etiam in triplicibus, ex illis enim sesquitertii procreantur.6 Nam quoniam primus triplex est ternarius numerus, habet unum sesquitertium, id est 4. Cuius quaternarii tertia pars non potest inveniri, atque ideo hic epitrito caret. Secundus vero, qui est novem, habet ad se duodenarium numerum sesquitertium. Duodenarius autem, quoniam habet tertiam partem, in sesquitertia proportione comparatur ad eum numerus sedecim, qui tertiae partis sectione solutus est.7 Viginti septem autem, quoniam tertius est triplex, habet ad se sesquitertium triginta sex, et hic rursus ad quadraginta octo eadem proportione comparatur. Cui si sexaginta quatuor appositi fuerint, eamdem rursus vim proportionis explebunt. Quos sexaginta quatuor ad nullum sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non tenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur, ut extremus eiusdem proportionis numerus, tantos ante se praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate discesserit.8 Et qui tot super se eiusdem proportionis habuerit numeros, quotus ab unitate primus eorum iacet, eius pars qua illi comparatus numerus, possit eamdem facere proportionem, inveniri nequeat. Et triplicis quidem haec est descriptio: At quadrupli secundum hanc formam descriptio est, ad quam scilicet, qui a prioribus instructus accesserit, nulla ratione trepidabit, et de caeteris quidem multiplicibus, eamdem convenientiam pernotabit. Hinc quoque perspicuum est, superparticularium (quemadmodum prius ostensum est) primos esse multiplices.9 Siquidem duplices sesquialteros, triplices sesquitertios, et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his hoc quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi, secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines, tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt. At in quadrupla, quadrupli, atque hoc infinita ductum speculatione non fallit.10 Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli, et secundum eamdem ordinis incommutabilem rationem, sibimet cuncta consentient, quibus expositis, ad sequentem operis seriem competens disputatio convertatur.
Boethius HOME
bnf1614.40 bnf6639.111 bnf11241.41 bnf11242.43 bsb46504.150 cec83.66 cec185.81 cec186.61 csg248.24 sbe358.84 vad296.22v
Boethius, De Arithmetica, 2, PRIMUM. Quemadmodum ad aequalitatem omnis inaequalitas reducatur. <<< >>> III. Quod multiplex intervallum ex quibus superparticularibus medietate posita, intervallis fiat, eiusque inveniendi regula.
monumenta.ch > Boethius > 2
© 2006 - 2025 Monumenta Informatik