monumenta.ch > Boethius > 32
Boethius, De Arithmetica, 1, XXXI. De multiplici superpartiente. <<<
Boethius, De Arithmetica, 1, CAPUT XXXII. Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit.
1 Restat autem nobis profundissimam quamdam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat quod bonitas definita est et sub scientiam cadens, animo que semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore perpetua. Infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii, tanquam aliquo signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur.2 Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus, pura intelligentia roboratus, astringit, et has quodammodo inaequalitatis formas, temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intelligamus omnes inaequalitatis species, ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequitas, matris et radicis obtinens vim, ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat.3 Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel tres bini, vel tres terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminis evenit, idem contingit in caeteris. Ex his igitur, secundum praecepti nostri ordinem, videas primum nasci multiplices, et in his duplices prius dehinc triplos, deinde quadruplos, et ad eumdem ordinem consequentes.4 Rursus, multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem, sesquialteri, ex triplicibus sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis, superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, et ex sesquiquarto superquadripartiens.5 Rectis autem positis, neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices superparticulares oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficientur. Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, duobus secundis et tertio.6 Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri multiplices explicabit. Iaceant igitur 3 termini aequales. Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus. Secundus vero, primo et secundo, id est 2; tertius vero primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, qui sunt 4, ut est descriptio: Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur. Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni; secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt 3; tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est 4, et tertio, id est quatuor, qui simul 9 fiunt, et venit haec forma: Rursus, si de triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur.7 Sit enim primus primo aequus, id est unus; sit secundus primo et secundo aequalis, id est 4; sit tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est 16. Et in caeteris quidem ad hanc formam, tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus, et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesquialter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo.8 Sint enim 3 duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur huiusmodi: Et constituatur primo in hoc ordine, primus par, id est 4, secundus vero primo et secundo par, id est 6, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est 9. Ecce tibi illa sesquialtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur.9 Videamus nunc ad eumdem modum ex triplici qui nascatur; disponantur enim triplices superiores, converso scilicet ordine sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus: Ponatur ergo primus primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 12; tertius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est 16. Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est.10 Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut monstrabit subiecta descriptio: Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes accrescere, et ex sesquialtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur, et caeteri secundum communes denominationis species, sine ulla ordinis interpolatione nascentur.11 Disponantur igitur sic: Superioris igitur descriptionis, primo primus aequus numerus ascribatur, id est 9, secundus vero primo et secundo, id est 15, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est 25. Si ergo sesquitertium eodem modo vertamus, ordo supertripartiens invenitur. Sit enim prima propositio sesquitertii. Ponatur secundum priorem modum, primo par primus, id est 16; secundus primo et secundo, id est 28; tertius primo, duobus secundis et tertio, id est 49. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet. Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma quam suppositam vides. Restat quemadmodum ex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares et multiplices superpartientes nascantur, ostendere.12 Quorum binas tantum faciam descriptiones, namque si rectum et non conversum sesquialterum ponimus, duplex superparticularis excrescit; fit enim hoc modo: Ponatur secundum superiorem modum primo, primus aequalis, id est 4; secundus primo et secundo, id est 10; tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est 25. Atque haec quidem duplex sesquialtera summa producta est.13 Si vero sesquitertium non conversum ponamus, duplus sesquitertius invenitur, ut subiecta descriptio docet. At vero si ad superpartientes animum convertamus, eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos reperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula: Ascribatur ergo primus, primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 24; tertius primo, duobus secundis et tertio, id est 64. Videsne ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit.14 At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio tripartiens invenitur, ut in subiecta descriptione perspicuum est: Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes oriuntur. Quare constat omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium, ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur.15 Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes, ab utilioribus moraremur.
Boethius HOME
bnf1614.34 bnf6639.107 bnf11241.36 bnf11242.36 bsb46504.135 cec83.55 cec185.67 cec186.51 csg248.20 sbe358.78 vad296.19r
Boethius, De Arithmetica, 1, XXXI. De multiplici superpartiente. <<<
monumenta.ch > Boethius > 32
© 2006 - 2025 Monumenta Informatik