1 Descriptio autem quae supposita est hoc modo facta est: quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt primo sunt versu dispositi.2 Rursus qui eodem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti.3 Post vero quos septenarius caeteros multiplicans procreavit, eosdem tertio constituimus loco, atque idem in reliqua descriptionis parte perficimus, superius igitur digestae descriptionis haec ratio est: si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos iungas, duplos eos propria medietate reperies, et 36 et 20 faciunt 56, quorum medietas est 28, et 12 si iungas faciunt 150, quorum 20 medietati medius eorum terminus invenitur.4 Ac vero ubi duas medietates habent, utraeque extremitates iunctae utrisque medietatibus aequales fiunt, ut 12 et 36 dum coniunxeris fiunt 48; horum si medietates sibimet applicaveris, id est 20 et 28, idem erit.5 Atque in alia parte latitudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepavit.6 Idemque eodem ordine in caeteris numeris pernotabis, et hoc secundum formam pariter imparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra iam dictum est.7 Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit si medius terminus suae capiet pluralitatis augmenta.8 Nam duodecies 48 faciunt 576; medius vero eorum terminus, id est 24, si multiplicetur, eosdem rursus 576 procreabit.9 Et rursus si 24 in 546 multiplicetur, faciunt 2304, quorum medius terminus, id est 48, si in semetipsum ducatur, idem 2304 procreantur.10 Ubi autem duo termini duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus ductis.11 Duodecies enim 546 multiplicatis in 152 procreantur, duae vero eorum medietates, id est 24 et 48, si in semetipsas multiplicentur, eosdem in 152 restituent, atque hoc ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta, haec ei cognoscitur ingenerata proprietas.12 Et in alio vero latere longitudinis, eadem ratio descriptioque notata est, qua in re manifestum est totum numerum, ex superioribus duobus esse procreatum, quod eorum retinet proprietates.13 Quoniam autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequentiam multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat.14 Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime breviterque doceamus.15 Sit enim talis descriptio in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis, et secundo versu duplus ordo texatur, tertio vero triplus, quarto autem quadruplus, et hoc usque ad decuplum.16 Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem valde iucundissima.17 Si igitur duo prima latera praepositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad decem, et decem procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum insipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, id est duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut octo quaternarium et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant.18 Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per decimam litteram fiat, hique se numeri superabunt, secundum paralitatis factam naturaliter connexionem; primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri modum progressionis accrescunt.19 Quam rem nobis scilicet et ipsa naturalis obiecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet.20 Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quiditate notatus est, et longitudinem quae in quadragenos terminat, velit superioribus comparare, per 10 litterae formam proportione collata, quadruplici multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se progressio, et ut primus primum tribus superet, ut quatuor unitatem, secundus secundum senario vincat, ut octo binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adiecta quantitate transiliant.21 Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione proveniet.22 Si quis vero in hac descriptione superparticulares requirat, tali modo reperiet.23 Si enim secundum angulum notet, cuius est initium quaternarius, eique superiacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declaratur.24 Nam tertius secundi versus sesquialter est, ut tres ad duo, vel sex ad 4, vel novem ad sex, vel 12 ad 8, item et in caeteris qui sunt in eadem serie numeris talis coniugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet; eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque quae in duplicibus fuit.25 Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus, et deinceps.26 Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad 3, vel 8 ad 6, vel 12 ad 9, videsne ut in omnibus his sesquitertia conservetur.27 Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterius comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces, hoc autem in hac dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt.28 Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod etiam latius explicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descriptione est: unus enim semel unus est, et est potestate tetragonus.29 Item bis duo 4 sunt, ter tres 9, quos in semetipsos multiplicationes primordiis perfecerunt.30 Circum ipsos vero qui sunt vel est circum angulares, longilateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant, circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris.31 Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex duobus et tribus, bis enim tres senarium reddunt.32 Novenarium vero sex et duodecim claudunt, qui duodecim ex tribus nascuntur et 4. Ter enim 4 fiunt 12, senarius vero ex duobus et tribus, bis enim ter fiunt 6, qui omnes uno maioribus lateribus procreati sunt.33 Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, 3 binarium numerum uno superant, cunctique alii eiusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus positis longilateris altrinsecus, et bis medio tetragono tetragonus sit.34 Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit, et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli, sit prima unitas, alterius vero qui contra est, tertia uni vero altrinsecus anguli secundas habent unitates, et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus angulorum.35 Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus, nunc vero ad sequentia propositum convertamus.36 Finis lib. de Geometria Anitii Manlii Severini Boetii.37 In quo opere si quid amplius requiri videbitur cuipiam boni aequique consulat, nam plurimos locos emendavimus, in quibusdam visum est cuique suum iudicium relinquere, nihilque temere mutare.38 Certe quantum diligentia, industria et impensis potuit fieri, a nobis nihil est omissum.